#783. 填数游戏

填数游戏

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题目描述

D\red D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 n×m\red{n\times m} 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字 0\red{0} 或者数字 1\red{1}),填数时需要满足一些限制。下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义:

  • 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即 (x,y)\red{(x,y)},其中,x\red{x} 为行坐标,y\red{y} 为列坐标。(注意:行列坐标均从 0\red{0} 开始编号);
  • 合法路径 P\red{P}:一条路径是合法的当且仅当: 1\red 1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 (0,0)\red{(0,0)} 出发,到矩形的右下角格子 (n1,m1)\red{(n-1,m-1)} 结束; 2\red 2. 在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是 P1:(0,0)(0,1)(1,1), P2:(0,0)(1,0)(1,1)\red{P_1:(0,0)\to (0,1)\to (1,1), \ P_2:(0,0)\to (1,0)\to (1,1)}

img

对于一条合法的路径 P\red{P},我们可以用一个字符串 w(P)\red{w(P)} 来表示,该字符串的长度为 n+m2\red{n+m-2},其中只包含字符 R 或者字符 D,第 i\red{i} 个字符记录了路径 P\red{P} 中第 i\red{i} 步的移动方法,R 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,D 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径 P1\red{P_1},有 w(P1)=RD\red{w(P_1)=\texttt{RD}};而对于另一条路径 P2\red{P_2},有 w(P2)=DR\red{w(P_2)=\texttt{DR}}

同时,将每条合法路径 P\red{P} 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为 n+m1\red{n+m-1}01\red{01} 字符串,记为 s(P)\red{s(P)}。例如,如果我们在格子 (0,0)\red{(0,0)}(1,0)\red{(1,0)} 上填入数字 0\red{0},在格子 (0,1)\red{(0,1)}(1,1)\red{(1,1)} 上填入数字 1\red{1}(见上图红色数字)。那么对于路径 P1\red{P_1},我们可以得到 s(P1)=011\red{s(P_1)=\texttt{011}},对于路径 P2\red{P_2},有 s(P2)=001\red{s(P_2)=\texttt{001}}

游戏要求小 D 找到一种填数字 0,1\red{0,1} 的方法,使得对于两条路径 P1,P2\red{P_1,P_2},如果 w(P1)>w(P2)\red{w(P_1)\gt w(P_2)},那么必须 s(P1)s(P2)\red{s(P_1)\le s(P_2)}。我们说字符串 a\red{a} 比字符串 b\red{b} 小,当且仅当字符串 a\red{a} 的字典序小于字符串 b\red{b} 的字典序,但是仅仅是找 1\red{1} 种方法无法满足小 D\red D 的好奇心,小 D\red D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满组游戏的要求?

D\red D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 0,1\red{0,1} 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对 109+7\red{10^9+7} 取模的结果。

输入格式

输入文件共一行,包含两个正整数 n,m\red{n,m},由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 n\red{n} 表示矩形表格的行数,m\red{m} 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 0,1\red{0,1} 的方法能满足游戏的要求。

注意:输出答案对 109+7\red{10^9+7} 取模的结果。

样例

输入样例 1

2 2

输出样例 1

12

样例说明 1

img

对于 2×2\red{2\times 2} 棋盘,有上图所示的 12\red{12} 种填数方法满足要求。

输入样例 2

3 3

输出样例 2

112

输入样例 3

5 5

输出样例 3

7136

提示

测试点编号 n\red{n\le} m\red{m\le}
14\red{1\sim 4} 3\red{3}
510\red{5\sim 10} 2\red{2} 106\red{10^6}
1113\red{11\sim 13} 3\red{3}
1416\red{14\sim 16} 8\red{8} 8\red{8}
1720\red{17\sim 20} 106\red{10^6}

提高组1

未参加
状态
已结束
规则
IOI
题目
6
开始于
2022-7-31 14:15
结束于
2022-7-31 17:15
持续时间
3 小时
主持人
参赛人数
32