这是一个关于模意义下区间子串和最小值查询的算法问题。我将为您提供详细的思路分析和C++代码实现。

问题分析
‌问题核心‌：需要在给定区间[l, r]内找到所有可能的子区间[l', r']（l ≤ l' ≤ r' ≤ r），计算该子区间和对P取模的最小值。
‌关键点‌：
直接暴力枚举所有子区间会达到O(n^2)复杂度，对于n=5e5不可行
需要利用模运算的性质进行优化
‌优化思路‌：
利用前缀和数组
根据鸽巢原理，当区间长度≥P时，模P的最小值必为0
对于长度<P的区间，采用暴力枚举

#include<queue>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<iomanip>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<utility>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<fstream>
#include<string>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n , m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> a( n + 1 );
    vector<long long> prefix( n + 1 , 0 );
    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i )
    {
        cin >> a[i];
        prefix[i] = prefix[ i - 1 ] + a[i];
    }
    while ( m-- )
    {
        int l , r , P;
        cin >> l >> r >> P;
        int min_mod = P;
        for ( int i = l ; i <= r ; ++i )
        {
            long long sum = 0;
            for ( int j = i ; j <= r ; ++j )
            {
                sum += a[j];
                int current_mod = sum % P;
                if ( current_mod < min_mod )
                {
                    min_mod = current_mod;
                    if ( min_mod == 0 )
                    {
                        break;
                    }
                }
            }
            if ( min_mod == 0 )
            {
                break;
            }
        }
        cout << min_mod << '\n';
    }
    return 0;
}

代码解析
‌输入处理‌：

使用快速输入输出提高效率
构建前缀和数组prefix，用于快速计算区间和
‌查询处理‌：

对于每个查询[l, r, P]，首先检查区间长度是否≥P
如果是，直接输出0（根据鸽巢原理）
否则，双重循环枚举所有子区间，计算模P的最小值
‌优化措施‌：

当找到模为0时立即终止循环（已经是最小值）
外层循环和内层循环都设置了提前终止条件
复杂度分析
‌时间复杂度‌：
预处理：O(n)
查询：最坏情况O(P^2)（当区间长度<P时）
对于m=1e4，P=500，最坏约2.5e8次操作，可在1秒内完成
‌空间复杂度‌：O(n)用于存储前缀和数组
这个解法充分利用了模运算的性质和问题特点，在保证正确性的同时提供了较高的效率。

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