题目描述

小可可需要你构造一个 $n$ 个点 $m$ 条边且无重边的有向无环图（节点从 $1$ 开始标号），其中点 $1$ 的入度和点 $n$ 的出度必须为 $0$。并且，对于 $0 \sim p$ 中的每一个整数 $i$，都能通过保留图中的一部分有向边使得从点 1 到点 $n$ 的不同路径方案数为 $i$。请给出你构造的有向无环图以及对于每一个 $i$ 需要保留哪些边。

答案不唯一，因此你只需输出任意一种可行方案，详见输出格式。你可以自己指定 $n, m$ 的大小，但必须保证 $n \leq 24, m \leq 65$。

一条经过 $|P|$ 个点的，从点$1$ 到点 $n$ 的路径 $P$ 可以描述为一个长度为 $|P|$ 的序列 $(P_1, P_2, \dots, P_{|P|})$，其中 $P_1 = 1, P_{|P|} = n$，并且对于 $i = 1, 2, \dots, |P| - 1$，图中都存在 $P_i \to P_{i+1}$ 的有向边。

两条路径 $A, B$ 不同，当且仅当 $|A| \neq |B|$，或者存在一个 $1 \sim |A|$ 中的正整数 $i$，使得 $A_i \neq B_i$。

输入格式

输入仅有一行一个正整数 $p$。

输出格式

第一行输出两个正整数 $n, m$ 表示你构造的有向无环图的点数和边数。

接下来 $m$ 行，第 $i$ 行输出两个正整数 $u, v$ 表示图中的第 $i$ 条有向边 $u \to v$。

接下来 $p + 1$ 行，第 $i$ 行输出一个长度为 $m$ 的仅由 01 构成的字符串，表示要使得点 1 到点 $n$ 的不同路径方案数为 $i - 1$ 的情况下选择保留哪些边，从左到右第 $j$ 个字符若为 1 表示保留第 $j$ 条边，0 表示不保留。

3

5 6
1 2
2 5
4 3
3 5
1 4
4 5
000000
110000
111100
111111

样例解释

样例中 $p = 3$。下图是样例输出中构造出的一种可行的图。

当六条边全部不选的时候，显然点 $1$ 无法到达点 $5$，方案数为 $0$。

仅保留第 $1,2$ 条边时，点 $1$ 到点 $5$ 仅有一条路径可选（$1 \to 2 \to 5$），方案数为 $1$。

保留第 $1,2,3,4$ 条边时，点 $1$ 到点 $5$ 有两条路径可选（$1 \to 2 \to 5$ 和 $1 \to 3 \to 5$），方案数为 $2$。

所有边全部保留时，点 $1$ 到点 $5$ 有三条路径可选（$1 \to 2 \to 5$，$1 \to 3 \to 5$ 和 $1 \to 4 \to 5$），方案数为 $3$。

因此，这组构造方案是合法的。

数据范围

对于所有数据，保证 $p \leq 75000$。

本题共计二十个测试点，每个测试点的输入是已知的（详见下表）。只有你的构造合法，并且满足 $n \leq 24, m \leq 65$ 才可获得该测试点的分数，否则该测试点不得分。

温馨提示

本题 $p$ 较大时输出量较大，因此请使用合适的方式输出。你也应当使用恰当的方法打开输出文件以防止电脑崩溃。

本题下发校验器 checker.cpp 供你测试你的构造是否合法。下发的校验器与最终评测中使用的校验器有所不同，你也无需关心其中的具体内容。请将本题下发文件 checker.cpp 解压缩到你的本程序所在文件夹中，并在你的本程序所在文件夹中右键单击，选择菜单中的“在终端打开”，然后使用以下命令编译 checker.cpp：

g++ checker.cpp -o checker -O2 -std=c++14

随后用以下命令测试你的输出：

./checker <input.in> <output.out>

其中，<input.in> 是输入文件，<output.out> 是输出文件。实际输入时不需要尖括号。你必须严格按照要求使用指令，否则将得到 Format incorrect。

以下是从 construct.in 读入、输出到 construct.out 的指令示例：

./checker construct.in construct.out

成功运行指令后，如果你的构造合法，你将会看到 Accepted，否则你会看到 Wrong answer 以及详细错误信息，具体如下：

$1$. Wrong answer [1]：你构造的图中点数过多（$n > 24$）。

$2$. Wrong answer [2]：你构造的图中边数过多（$m > 65$）。

$3$. Wrong answer [3]：你构造的图违反了点 $1$ 入度为 $0$ 的要求。

$4$. Wrong answer [4]：你构造的图违反了点 $n$ 出度为 $0$ 的要求。

$5$. Wrong answer [5] u v：你构造的图中出现了重边。重边是 $u \to v$。

$6$. Wrong answer [6]：你构造的图不是无环图。

$7$. Wrong answer [7] x：你没有构造出路径数恰好为 $x$ 的选边方案。

$8$. Wrong answer [8]：你输出的字符串长度不是 $m$。

请注意：如果你的输出不符合输出格式，校验器可能会返回无效信息或者出现运行时错误。

附加样例